用还原法解决问题

生活里的事情从发生到结束总是有过程的，事情发生的过程或是在数量的多少上发生变化，或是在方向、路线、时间等方面发生变化，或是在其他方面发生变化。研究这些事情里的数学问题经常有两条线索： 一条是从事情的起始状态，根据将要发生的变化，推断结束时的状态；另一条是从事情的结束状态，联系已经发生的变化，追溯起始状态。学生比较习惯用前一条线索分析数量关系和解决实际问题，但是，有些问题用后一种思路去解决是比较方便的。本单元教学逆推策略，从事情的结果倒过去想它在开始的时候是怎样的，即还原到起始的状态。

一、基础回放

例1  洋阳与慧惠共有40本故事书，洋阳给慧惠6本后，洋阳还比慧惠多4本。原来两人各有多少本故事书？

思路点睛  问题要求： “原来两人各有多少本”的起始数量，但结束数量多少本并不知道，但我们可以能过“洋阳还比慧惠多4本”的条件求出他们结束时的本数。两从一共40本故事书，把“洋阳还比慧惠多4本”减掉，那么两人就同样多共40－4=36本，那么慧惠有36÷2=18本，洋阳有18＋4=22本。

再通过还原法，因为“洋阳给慧惠6本后”洋阳还剩22本，所以洋阳原来应该有22＋6=28本，慧惠有18－6=12本。

例2 周六，小明一家去体育馆看篮球赛，他们从家到体育馆要20分，看篮球赛用去1时30分，从体育馆用了25分回到家时正好是22时。他们什么时候离家去体育馆的？

思路点睛  他们到家时是22时，通过时间还原，球赛结束时离开体育馆时应该是22时－25分=21时35分。看篮球赛用了1时30分，那么球赛开始时间应该变21时35分－1时30分=20时零5分。继续“倒推”，减去他们从家到体育的时间，他们的离家时间应该是20时零5分-20分=19时45分。

二、巩固提升

例3 工程队有一批水泥，每一次运走了一半，第二次运走了剩下的一半多3袋，第三次运走了剩下的一半少3袋，第四次运走了剩下的一半多3袋，第五次运走了剩下的一半，最后还剩3袋。这堆水泥一共有多少袋？

思路点睛  这道题我们同样倒推的方法从结束状态的3袋开始还原。最后剩下3袋，向前推算一步是因为“第五次运走了剩下的一半”，第五次前还剩下3×2=6袋。再往前推算一步“四次运走了剩下的一半多3袋”才剩下6袋的，如果不多3袋，那应该剩下6＋3=9袋，剩下9袋是因为“第四次运走了剩下的一半”，所以第四次前还剩9×2=18袋。依次向前还原，第三次前还剩（18－3)×2=30袋。第二次前还剩（30＋3）×2=66袋。第一次前应该有66×2=132袋。

例4 一种有益的菌种，每小时可增长1倍。现在有一批这样的细菌：10小时后达到100万个。当它们达到25万个时，经历了多长时间？

思路点睛  分析已知条件“每小时可增长1倍”，意思是说1小时后，细菌数是1小时间的2倍。“10小时后达到100万个”，那么向前倒推一小时，100万个应该是1小前的2倍，也就是说9小时后，细菌有50万个。再向前倒推1小时，细菌数就应该是25万个，也就是8小时后。所以当它们达到25万个时，经历了8小时。

三、小试牛刀

1、一个分数，分别有2、3、3进行约分后，得 ，原来这个分数是多少？

2、有甲、乙两堆小球，各有若干个，先从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放入乙堆，再从乙堆拿出和这时甲堆同样多的小球放到甲堆。这时两堆都有小球16个，问甲、乙两堆最初各有多少个小球？

[答案：1、      2、甲20个 乙12个   ]